题目内容

“a=1”是“对任意的正数x，x+
a
x
≥2”的（　　）
分析：根据基本不等式，我们可以判断出“a=1”⇒“对任意的正数x，x+
a
x
≥2”与“对任意的正数x，x+
a
x
≥2”⇒“a=1”真假，进而根据充要条件的定义，即可得到结论
解答：解：当“a=1”时，由基本不等式可得：
“对任意的正数x，x+
a
x
≥2=x+
1
x
≥2一定成立，
即“a=1”⇒“对任意的正数x，x+
a
x
≥2”为真命题；
而“对任意的正数x，x+
a
x
≥2的”时，可得“a≥1”
即“对任意的正数x，x+
a
x
≥2”⇒“a=1”为假命题；
故“a=1”是“对任意的正数x，x+
a
x
≥2”的充分不必要条件．
故选B．
点评：本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本不等式，属于基础题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=ax-lnx，g(x)=
lnx
x
，它们的定义域都是（0，e]，其中e≈2.718，a∈R
（ I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（ II）当a=1时，对任意x1，x2∈（0，e]，求证：f(x1)＞g(x2)+
17
27

（ III）令h（x）=f（x）-g（x）•x，问是否存在实数a使得h（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．
已知函数f（x）=loga（x2-ax+3）（a＞0且a≠1）满足对任意的x1，x2，当x1＜x2≤
a4
时，f（x1）-f（x2）＞0，则实数a的取值范围是
 
．
已知函数f（x）=
1-x
ax
+lnx．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）在[
1
2
，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）当a=1时，对任意的正整数n＞1，求证：f(
n
n-1
)＞0，且不等式lnn＞Inn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
都成立．
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
（1）a＞0，且a≠1，则对任意实数x，ax＞0；
（2）对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tanx1＜tanx2；
（3）?T0∈R，使|sin（x+T0）|=|sinx|；
（4）?x0∈R，使x\o\al(2，0)+1＜0．
设实数a≠0，数列{an}是首项为a，公比为-a的等比数列，记bn=anlg|an|（n∈N*），Sn=b1+b2+…+bn，
求证：当a≠-1时，对任意自然数n都有Sn=
alg|a|(1+a)2
[1+（-1）n+1（1+n+na）an]．

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