Question

（2013•东城区模拟）已知函数f（x）=x²+x，当x∈[n，n+1]（n∈N₊）时，f（x）的值中所有整数值的个数记为g（n）．
（Ⅰ）求g（2）的值，并求g（n）的表达式；
（Ⅱ）设a_n=

2n3+3n2

g(n)

（n∈N₊），求数列{（-1）^n-1a_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）设b_n=

g(n)

2n

，S_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N₊），若对任意的n∈N₊，都有S_n＜L（L∈Z）成立，求L的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当n=2时，f（x）在[2，3]上递增，由此可求g（2）的值，利用函数的单调性，即可求g（n）的表达式；
（Ⅱ）确定数列的通项，利用n是奇数、偶数分类讨论，分组求和，即可数列{（-1）^n-1a_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）确定数列的通项，利用错位相消法求出S_n，即可求L的最小值．

解答：解：（Ⅰ）当n=2时，f（x）在[2，3]上递增，
所以6≤f（x）≤12，所以g（2）=7．----------------------------（2分）
因为f（x）在[n，n+1]（n∈N₊）上单调递增，
所以，n²+n≤f（x）≤（n+1）²+（n+1）=n²+3n+2，
从而g（n）=（n²+3n+2）-（n²+n）+1=2n+3．------------------（4分）
（Ⅱ）因为a_n=

2n3+3n2

g(n)

=

2n3+3n2

2n+3

=n²，-------------------（5分）
所以T_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n=1²-2²+…+（-1）^n-1n²．----------------------------（6分）
当n是偶数时，T_n=-[1+2+3+4+…+（n-1）+n]=-

n(n+1)

2

；-----------------（8分）
当n是奇数时，T_n=1²-2²+…+[（n-2）²-（n-1）²]+n²=

n(n+1)

2

-------（10分）
（Ⅲ）b_n=

g(n)

2n

=

2n+3

2n

，-----------------------------------（11分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

5

2

+

7

22

+…+

2n+1

2n-1

+

2n+3

2n

，
∴

1

2

S_n=

5

22

+

7

23

+…+

2n+1

2n

+

2n+3

2n+1

，
错位相减得

1

2

S_n=

5

2

+(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

）-

2n+3

2n+1

，-----------（12分）
所以，S_n=7-

2n+7

2n

．---------------------------------------（13分）
因为S_n=7-

2n+7

2n

＜7，
所以若对任意的n∈N₊，都有S_n＜L（L∈Z）成立，则L≥7，
所以，L的最小值为7．----------------------------------------（14分）

点评：本题考查新定义，考查数列的求和，考查学生分析、运算能力，考查分类讨论的数学思想，确定数列的通项是关键．