Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F₁，F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F₁PF₂的重心为G，内心I，且有

IG

=λ

F1F2

（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  3

• C．

  2

  3

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：在焦点△F₁PF₂中，设P（x₀，y₀），由三角形重心坐标公式，可得重心G的纵坐标，因为

IG

=λ

F1F2

，故内心I的纵坐标与G相同，最后利用三角形F₁PF₂的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a、b、c的等式，即可解得离心率

解答：解：设P（x₀，y₀），∵G为△F₁PF₂的重心，
∴G点坐标为 G（

x0

3

，

y0

3

），
∵

IG

=λ

F1F2

，∴IG∥x轴，
∴I的纵坐标为

y0

3

，
在焦点△F₁PF₂中，|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴S△F1PF2=

1

2

•|F₁F₂|•|y₀|
又∵I为△F₁PF₂的内心，∴I的纵坐标

y0

3

即为内切圆半径，
内心I把△F₁PF₂分为三个底分别为△F₁PF₂的三边，高为内切圆半径的小三角形
∴S△F1PF2=

1

2

（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）|

y0

3

|
∴

1

2

•|F₁F₂|•|y₀|=

1

2

（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）|

y0

3

|
即

1

2

×2c•|y₀|=

1

2

（2a+2c）|

y0

3

|，
∴2c=a，
∴椭圆C的离心率e=

c

a

=

1

2

故选A

点评：本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用，椭圆离心率的求法