Question

【题目】设函数，，其中为欧拉数，，为未知实数，且.如果和均为函数的单调区间.

（1）求；

（2）若函数在上有极值点，为实数，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）令，，求导得函数在上单调递增，设的唯一根为，则满足，由题设得， 由此可得答案；

（2）由题意得存在，使得，再分类讨论结合一元二次方程根的分布即可求出答案．

解：（1）令，，

∴（因，），

∴函数在上单调递增，

设的唯一根为，即满足，（利用，的函数图象很容易确定）

于是，当时，，而当时，，

从而，当时，，

当时，，

可知，为的单调递减区间，为的单调递增区间，

进而，由题设得，

因此，；

（2）若函数在上有极值点，则易知存在，使得，

注意到，

①若在上有根，等价于在上有解，

由一元二次方程根的分布可得，只需满足，解得；

②若在上有根，等价于在上有解，

由一元二次方程根的分布可得，只需满足且，解得；

综上，的取值范围为．