Question

数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-1，数列{b_n}中，b_n=(3n-2)·a_n，
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n。

Answer 1

解：（1）∵S_n=2a_n-1， ①
S_n-1=2a_n-1-1(n≥2)，       ②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∵a₁=S₁=2a₁-1，
∴a₁=1，所以，{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴a_n=2^n-1。
（2）∵b_n=(3n-2)·2^n-1，
∵T_n=1+4·2+7·2²+…+（3n-2）·2^n-1， ③
2T_n=1·2+4·2²+…+（3n-2）·2ⁿ，   ④
③-④，得-T_n=1+3(2+2²+…+2^n-1)-(3n-2)·2ⁿ=-5-(3n-5)·2ⁿ，
∴Tn=(3n-5)·2ⁿ+5。