Question

已知各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列a_n的前n项和，对任意的n∈N*，有2S_n=2pa_n²+pa_n﹣p（p∈R）
（1）求常数p的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）∵a₁=1，对任意的n∈N*，有2S_n=2pa_n²+pa_n﹣p
∴2a₁=2pa₁²+pa₁﹣p，
即2=2p+p﹣p，解得p=1；
（2）2S_n=2a_n²+a_n﹣1，①
2S _n﹣1=2a_n﹣1 ²+a_n﹣1﹣1，（n≥2），②
①﹣②即得（a_n﹣a_n﹣1﹣）（a_n+a_n﹣1）=0，
因为a_n+a_n﹣1≠0，所以a_n﹣a _n﹣1﹣=0，
∴
（3）2S_n=2a_n²+a_n﹣1=2×，
∴S_n=，
∴=n2ⁿ
T_n=1×2¹+2×2²+…+n×2ⁿ③
又2T_n=1×2²+2×2³+…+（n﹣1）×2ⁿ+n×2 ⁿ⁺¹ ④
由④﹣③得，T_n=﹣1×2¹﹣（2²+2³+…+2ⁿ）+n2 ⁿ⁺¹=（n﹣1）2 ⁿ⁺¹+2
∴Tn=（n﹣1）2 ⁿ⁺¹+2