Question

（理工类考生做） 已知函数f(x)=

kx+1

x2+c

（c＞0且c≠1，k∈R）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x=-c．
（1）求函数f（x）的另一个极值点；
（2）求函数f（x）的极大值M和极小值m，并求M-m≥1时k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）原函数f（x）恰有一个极大值点和一个极小值点就是导函数f′（x）=0恰有两个不等实根，利用根与系数的关系求出另一根即可．
（2）根据开口向上和向下两种情况分别找到M-m，再解M-m≥1即可．

解答：解：（1）f′（x）=

k(x2+c)-2x(kx+1)

(x2+c)2

=

-kx2-2x+ck

(x2+c)2

，
由题意知f′（-c）=0，即得c²k-2c-ck=0，（*）
∵c≠0，∴k≠0．
由f′（x）=0，得-kx²-2x+ck=0，
由韦达定理知另一个极值点为x=1（或x=c-

2

k

）．
（Ⅱ）由（*）式得k=

2

c-1

，即c=1+

2

k

．
当c＞1时，k＞0；当0＜c＜1时，k＜-2．
（i）当k＞0时，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）内是减函数，在（-c，1）内是增函数．
∴M=f（1）=

k+1

c+1

=

k

2

＞0，m=f（-c）=

-kc+1

c2+c

=

-k2

2(k+2)

＜0，
由M-m=

k

2

+

k2

2(k+2)

≥1及k＞0，解得k≥

2

．
（ii）当k＜-2时，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）内是增函数，在（-c，1）内是减函数．
∴M=f（-c）=

-k2

2(k+2)

＞0，m=f（1）=

k

2

＜0，M-m=

-k2

2(k+2)

-

k

2

=1-

(k+1)2+1

k+2

≥1恒成立．
综上可知，所求k的取值范围为（-∞，-2）∪[

2

，+∞）．

点评：本题考查利用导函数来研究函数的极值以及对分类讨论思想的考查．分类讨论思想在数学中是非常重要的思想之一，所以希望能加强这方面的训练．