Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S n=n2，数列{b_n}满足bn=

1

anan+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n和T_n；
（II）若对任意的n∈N^*不等式λTn＜n+(-1)n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（I）当n=1时，a₁=S₁=1，当n≥2时，a_n=Sn-Sn-1 =2n-1，由此推导出a_n=2n-1，从而得到b_n=

1

anan+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），由此能求出数列{a_n}的通项公式a_n和T_n．
（II）由（I）得：λ＜

(2n+1)[n+(-1)n]

n

，由此进行分类讨论，能推导出对于任意的正整数n，原不等式恒成立，λ的取值范围．

解答：解：（I）当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=Sn-Sn-1 =2n-1，验证当n=1时，也成立；
所以，a_n=2n-1，
b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）

所以，T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

．
（II）由（I）得：λ＜

(2n+1)[n+(-1)n]

n

，
当n为奇数时，λ＜

(2n+1)(n-1)

n

=2n-

1

n

-1恒成立，
因为当n为奇数时，2n-

1

n

-1单调递增，
所以当n=1时，2n-

1

n

-1取得最小值为0，
此时，λ＜0．
当n为偶数时，λ＜

(2n+1)(n+1)

n

=2n+

1

n

+3恒成立，
因为当n为偶数时，2n+

1

n

+3单调递增，所以当n=2时，2n+

1

n

+3取得最小值为

15

2

，
此时，λ＜

15

2

．
综上所述，对于任意的正整数n，原不等式恒成立，λ的取值范围是（-∞，0）．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．