Question

【题目】已知点是椭圆的左、右顶点， 为左焦点，点是椭圆上异于的任意一点，直线与过点且垂直于轴的直线交于点，直线于点.

（1）求证：直线与直线的斜率之积为定值；

（2）若直线过焦点， ，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）.

【解析】试题分析：（1）设，利用点在椭圆上的条件，化简，得到定值；（2）设直线的斜率分别是 ，并且表示直线，以及求出交点的坐标，根据，表示直线的斜率，根据三点共线，表示，得到的齐次方程，求的值，并且代入求的值.

试题解析：（1）证明：设，由已知，

∴.①

∵点在椭圆上，∴.②

由①②得（定值）.

∴直线与直线的斜率之积为定值.

（2）设直线与斜率分别为，由已知，

直线的方程为，

直线，则.

∵，∴.

由（1）知，故，

又三点共线，得，

即，得.

∵，∴，

，解得或（舍去）.

∴.

由已知，得，

将代入，得，故.