Question

1．如图，四棱锥P-ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为棱PC上的动点，且$\frac{PM}{PC}$=λ（λ∈[0，1]）．
（Ⅰ） 求证：BC⊥PC；
（Ⅱ） 试确定λ的值，使得二面角P-AD-M的平面角余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OC，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC⊥PC．
（Ⅱ）设M（a，b，c），由$\frac{PM}{PC}$=λ可得点M的坐标为（$\sqrt{3}$λ，0，$\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$），求出平面AMD的法向量和平面PAD的法向量，由此利用向量法能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OC，
∵侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，
底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，
∴△ADC是等边三角形，PO、AD、CO两两垂直，
以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意得P（0，0，$\sqrt{3}$），C（$\sqrt{3}$，0，0），B（$\sqrt{3}$，-2，0），
$\overrightarrow{CB}$=（0，-2，0），$\overrightarrow{CP}$=（-$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CP}$=0，∴CB⊥CP．
（Ⅱ）由$\frac{PM}{PC}$=λ可得点M的坐标为（$\sqrt{3}$λ，0，$\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$），
∴$\overrightarrow{AM}$=（$\sqrt{3}$λ，1，$\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$），$\overrightarrow{DM}$=（$\sqrt{3}$λ，-，$\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$），
平面AMD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}λx+y+（\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）z=0}\\{\sqrt{3}λx-y+（\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）z=0}\end{array}\right.$
令z=λ，得$\overrightarrow{n}$=（λ-1，0，λ），
由题意平面PAD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∵二面角P-AD-M的平面角余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{1}{\sqrt{1+（\frac{λ}{λ-1}）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
由λ∈[0，1]），解得λ=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查空间线面关系、二面角P-AD-M的平面角余弦值等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，正确运用向量法是关键．