Question

（2012•松江区三模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=AA₁=2，E是BC的中点．
（1）求四棱锥C-A₁B₁BA的体积；
（2）求异面直线AE与A₁C所成的角．

Answer 1

分析：（1）根据线面垂直的判定与性质，可证出AC⊥平面A₁B₁BA，所以AC是四棱锥C-A₁B₁BA的高，再结合锥体体积公式和题中所给数据，可求出四棱锥C-A₁B₁BA的体积．
（2）取B₁C₁的中点E₁，连A₁E₁，E₁C，根据棱柱的性质可得AE∥A₁E₁，得异面直线A₁E₁与A₁C所成的角是AE和A₁C所成的锐角或直角，再根据直棱柱的性质算出△M₁E₁C的各边长，最后在△M₁E₁C中利用余弦定理，可算出∠E₁A₁C的余弦，即得异面直线AE与A₁C所成的角．

解答：解：（1）∵AA₁⊥平面ABC，AC⊆平面ABC，∴AC⊥AA₁
结合AB⊥AC，AB∩AA₁=A，可得AC⊥平面A₁B₁BA
∴四棱锥C-A₁B₁BA的体积为
V=

1

3

SA1B1BA×AC=

1

3

×2×2×2=

8

3

（2）取B₁C₁的中点E₁，连A₁E₁，E₁C，
∵AE∥A₁E₁，∴∠E₁A₁C或其补角是异面直线AE与A₁C所成的角
∵AC=AB=AA₁=2，
∴Rt△A₁B₁C₁中，A1E1=

2

，正方形AA₁C₁C中，A1C=2

2

，
∴Rt△CC₁E₁中，E1C1=

1

2

B1C1=

2

，E1C=

E1 C 2 1 +C1C2

=

6

因此，在△M₁E₁C中，cos∠E1A1C=

2+8-6

2× 2 ×2 2

=

1

2

． 
∴异面直线AE与A₁C所成的角为

π

3

．

点评：本题给出直三棱柱，叫我们求异面直线所成角并且求四棱锥的体积，着重考查了直棱柱的性质、异面直线所成角和体积的求法等知识，属于基础题．