Question

【题目】已知四棱锥的底面是梯形，，，，，在棱上且.

（1）证明：平面；

（2）若平面，异面直线与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

(1) 作交于点，连接，证明四边形为平行四边形，可得，由线面平行的判定定理得到证明；（2）由异面直线与所成角可得，以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面EBD的法向量，然后利用法向量的数量积计算可得结果.

（1）证明：作交于点，连接，

因为在棱上且，

所以．

又因为，，

所以，且，

所以四边形为平行四边形，

从而有．

又因为平面，平面，

所以平面．

（2）由（1）可知，即为异面直线与所成的角，

在直角三角形中，，

所以，.

以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，

，，

平面的一个法向量，

设平面的法向量为，

由得

取，得.

所以，

因为二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为.