Question

已知函数f（x）=e^axlnx在定义域内是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：易求函数f（x）=e^axlnx在定义域为（0，+∞）因此要使函数f（x）=e^axlnx在定义域内是增函数即使f′（x）=ae^axlnx+e^ax×

1

x

=e^ax（alnx+

1

x

）≥0在（0，+∞）上恒成立即可即对a进行讨论再结合单调性保证alnx+

1

x

≥0在（0，+∞）上恒成立．

解答：解：函数的定义域为（0，+∞）．f′（x）=ae^axlnx+e^ax×

1

x

=e^ax（alnx+

1

x

）． …（2分）
①当a=0时，f（x）=lnx在（0，+∞）上是增函数；       …（3分）
②当a＜0时，∵

lim

x→+∞

lnx=+∞，

lim

x→+∞

1

x

=0，
∴

lim

x→+∞

(alnx+

1

x

)=-∞，
又∵e^ax＞0，∴当x→+∞时，f′（x）＜0，
与f（x）在（0，+∞）上递增矛盾；…（5分）
③当a＞0时，设g（x）=alnx+

1

x

则g′（x）=

a

x

-

1

x2

=

a

x2

(x-

1

a

)．
若0＜x＜

1

a

时，g′（x）＜0，x＞

1

a

时，g′（x）＞0
∴g（x）在x=

1

a

时取得最小值即g（x）的最小值为g（

1

a

）=-alna+a=a（1-lna）．       …（8分）
（i）当0＜a＜e，则g（

1

a

）＞0，从而f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（ii）当a=e，则g（

1

a

）=0，其余各点处g（x）＞0，从而f′（x）≥0（仅在x=

1

a

时取等号），
故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（iii）当a＞e，则g（

1

a

）＜0，从而f′（

1

a

）＜0，与f（x）在（0，+∞）上递增矛盾．…（11分）
综上所述，a的取值范围是[0，e]．       …（12分）

点评：本题主要考察了利用导数研究函数的单调性，较难．解题的关键是要紧紧抓住要使函数f（x）=e^axlnx在定义域内是增函数即使f′（x）=ae^axlnx+e^ax×

1

x

=e^ax（alnx+

1

x

）≥0在（0，+∞）上恒成立这一等价条件！