Question

已知棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为侧面AB₁的中心，F为棱A₁D₁的中点，试计算：
（1）

EF

•

FC1

；
（2）求证EF⊥面AB₁C；
（3）求ED₁与面CD₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析：以AB，AD，AA₁的方向为x轴，y轴，z轴方向建立空间直角坐标
（1）求出

EF

与

FC1

的坐标，利用向量数量积的坐标表示求出

EF

•

FC1

．
（2）根据直线垂直的坐标表示，由题，可通过证明

EF

•

AB1

=0，

EF

•

B1C

=0证明EF⊥面AB₁C
（3）ED₁与面CD₁所成角的正弦值 等于

ED1

与平面CD₁所成角的余弦值的绝对值，再利用同角三角函数基本关系式求解即可．

解答：解：以AB，AD，AA₁的方向为x轴，y轴，z轴方向建立空间直角坐标互AO为坐标原点，A，B，C，D，A₁，B₁，C₁，D₁，E，F的坐标分别为（0，0，0），（4，0，0），（4，4，0），（0，4，0），（0，0，4），（4，0，4），（4，4，4），（0，4，4），（2，0，2），（0，2，4）
（1）

EF

=(-2，2，2)，

FC1

=(4，2，0)

EF

•

FC1

=-4
（2）∵

EF

•

AB1

=0，

EF

•

B1C

=0∴EF⊥AB₁EF⊥B₁C
从而EF⊥面AB₁C
（3）

ED1

=-(-2，4，2)面CD₁的法向量可取

AD

=(0，4，0)，设ED₁与面CD₁所成的角为θ
则sinθ=

| ED1 - AD  |

| ED1 |•| AD  |

=

16

2 6 ×4

=

6

3

cosθ=

1-sin2θ

=

3

3

故所求角的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查空间向量坐标表示空间直线和直线、直线和平面的位置关系，空间角的求解．利用空间向量坐标，降低了思维难度，等多的需要代数运算．要求具有良好的转化、计算的能力．