题目内容

已知数列{an}满足an=2an-1+2n+2（n≥2），a1=2．
（1）是否存在一个实数t，使得数列{
an+t2n
}成等差数列，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，判断Sn与n3+n2的大小，并说明理由．
分析：（1）由
an+t
2n
-
an-1+t
2n-1
=
an+t-2an-1-2t
2n
=
2n+2-t
2n
=1+
2-t
2n
恒为常数，能求出t．
（2）由
an+2
2n
=
a1+2
2
+(n-1)•1=n+1，知an=（n+1）•2n-2，所以Sn=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n-2n，-Sn=2•22+3•23+4•24+…+（n+1）•2n+1-4n．两式相减得：-Sn=2•2+22+23+24+…+2n-（n+1）•2n+1+2n=-n•2n+1+2n，Sn=n•2n+1-2n．Sn=n•2n+1-2n=2n（2n-1）=2n[（1+1）n-1]=2n[Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn-1]．然后通过分类讨论进行求解．
解答：解：（1）∵
an+t
2n
-
an-1+t
2n-1
=
an+t-2an-1-2t
2n
=
2n+2-t
2n
=1+
2-t
2n
恒为常数
∴t=2                                                         （5分）
（2）∵
an+2
2n
=
a1+2
2
+(n-1)•1=n+1∴an=（n+1）•2n-2（7分）∴Sn=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n-2n∴-Sn=2•22+3•23+4•24+…+（n+1）•2n+1-4n
两式相减得：-Sn=2•2+22+23+24+…+2n-（n+1）•2n+1+2n=-n•2n+1+2n∴Sn=n•2n+1-2n（10分）∴Sn=n•2n+1-2n=2n（2n-1）=2n[（1+1）n-1]（12分）=2n[Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn-1]
当n≥4时，Sn=2n[1+n+
n(n-1)
2
+…+n-1]＞2n[n+
n(n-1)
2
]=n3+n2（12分）
当n=3时，S3=3×24-2×3=42＞33+32=36．
当n=1时，S2=2=13+12
当n=2时，S2=4＜23+22=12．
综上可知，当n≥3时，Sn＞n3+n2；当n=2时，Sn＜n3+n2；当n=1时，Sn=n3+n2．（14分）
点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用错位相减法和分类讨论法进行解题．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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