Question

17．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x{e}^{-{x}^{2}}，x≥0}\\{\frac{1}{1+cosx}，-1＜x＜0}\end{array}\right.$，求${∫}_{1}^{4}$f（x-2）dx．

Answer 1

分析 对于分段求定积分函数可采取分段积分的办法，而且${∫}_{1}^{4}$f（x-2）dx=${∫}_{-1}^{2}f（x）dx$

解答 解：当x∈[1，4]时，x-2∈[-1，2]，所以，
${∫}_{1}^{4}$f（x-2）dx=${∫}_{-1}^{2}f（x）dx$=${∫}_{-1}^{0}$$\frac{1}{1+cosx}$dx+${∫}_{0}^{2}$$x{e}^{-x^2}$dx，其中，
${∫}_{-1}^{0}$$\frac{1}{1+cosx}$dx=${∫}_{-1}^{0}$$\frac{1}{2cos^2（\frac{x}{2}）}$dx=${∫}_{-1}^{0}$$\frac{1}{cos^2（\frac{x}{2}）}d（\frac{x}{2}）$=tan$\frac{x}{2}$${|}_{-1}^{0}$=tan$\frac{1}{2}$，
${∫}_{0}^{2}$$x{e}^{-x^2}$dx=（-$\frac{1}{2}$${e}^{-x^2}$）${|}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{e^4}$），
所以，${∫}_{1}^{4}$f（x-2）dx=tan$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{e^4}$）．

点评 本题主要考查了定积分的运算，并采取了分段函数的定积分可分段积分的方法运算，属于中档题．