Question

已知函数f(x)=-(2m+2)lnx+mx-

m+2

x

，试讨论此函数的单调性．

Answer 1

分析：求出f（x）的定义域和导函数f′（x），根据根的大小关系进行对m进行分类讨论，分别求出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，从而确定f（x）的单调性．

解答：解：∵函数f(x)=-(2m+2)lnx+mx-

m+2

x

，
∴f（x）的定义域为{x|x＞0}，
∵f/(x)=

-(2m+2)

x

+m+

m+2

x2

=

mx2-(2m+2)x+(m+2)

x2

=

(x-1)[mx-(m+2)]

x2

，
①当m=0，f/(x)=

-2(x-1)

x2

=0，
∴x=1，
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）；
②当m≠0时，令f′（x）=0，
∴x1=1，x2=

m+2

m

，
若m＞0，则x₁＜x₂，
∵当x∈（0，x₁）和x∈（x₂，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（0，x₁），（x₂，+∞），递减区间为（x₁，x₂）；
若-2＜m＜0，则x₂＜0＜x₁，
∵当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）；
若m＜-2，则0＜x₂＜1，
∵当x∈（0，x₂）和x∈（x₁，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（x₂，x₁）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间为（0，x₂），（x₁，+∞），递增区间为（x₂，x₁）；
若m=-2，则x₂=0=x₁，
∵当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）；
综上所述，当m＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，x₁），（x₂，+∞），递减区间为（x₁，x₂），
当-2≤m≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞），
当m＜-2时，f（x）的单调递减区间为（0，x₂），（x₁，+∞），递增区间为（x₂，x₁）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性．对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题．