Question

已知实数x₁，x₂，…，x_n（n∈N^*且n≥2）满足|x_i|≤1（i=1，2，…，n），记．
（Ⅰ）求及S（1，1，-1，-1）的值；
（Ⅱ）当n=3时，求S（x₁，x₂，x₃）的最小值；
（Ⅲ）当n为奇数时，求S（x₁，x₂，…，x_n）的最小值．
注：表示x₁，x₂，…，x_n中任意两个数x_i，x_j（1≤i＜j≤n）的乘积之和．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据已知中S（x₁，x₂，…，x_n）的计算方法可得得及S（1，1，-1，-1）的值．
（Ⅱ）n=3时，．再固定x₂，x₃，仅让x₁变动，那么S是x₁的一次函数或常函数，因此S≥min{S（1，x₂，x₃），S（-1，x₂，x₃）}．同理S（1，x₂，x₃）≥min{S（1，1，x₃），S（1，-1，x₃）}．S（-1，x₂，x₃）≥min{S（-1，1，x₃），S（-1，-1，x₃）}．以此类推，我们可以看出S≥min{S（x₁，x₂，x₃）}．从而求得S（x₁，x₂，…，x_n）的最小值．
（Ⅲ）=x₁x₂+x₁x₃+…+x₁x_n+x₂x₃+…+x₂x_n+…+x_n-1x_n．固定x₂，x₃，…，x_n，仅让x₁变动，那么S是x₁的一次函数或常函数，类似于（II）中的方法得出S（x₁，x₂，…，x_n）的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由已知得．
S（1，1，-1，-1）=1-1-1-1-1+1=-2．       …（3分）
（Ⅱ）n=3时，．
固定x₂，x₃，仅让x₁变动，那么S是x₁的一次函数或常函数，
因此S≥min{S（1，x₂，x₃），S（-1，x₂，x₃）}．
同理S（1，x₂，x₃）≥min{S（1，1，x₃），S（1，-1，x₃）}．
S（-1，x₂，x₃）≥min{S（-1，1，x₃），S（-1，-1，x₃）}．
以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可以被某一组取值±1的x₁，x₂，x₃所达到，
于是S≥min{S（x₁，x₂，x₃）}．
当x_k=±1（k=1，2，3）时，=．
因为|x₁+x₂+x₃|≥1，
所以，且当x₁=x₂=1，x₃=-1，时S=-1，
因此S_min=-1．                  …（7分）
（Ⅲ）=x₁x₂+x₁x₃+…+x₁x_n+x₂x₃+…+x₂x_n+…+x_n-1x_n．
固定x₂，x₃，…，x_n，仅让x₁变动，那么S是x₁的一次函数或常函数，
因此S≥min{S（1，x₂，x₃，…，x_n），S（-1，x₂，x₃，…，x_n）}．
同理S（1，x₂，x₃，…，x_n）≥min{S（1，1，x₃，…，x_n），S（1，-1，x₃，…，x_n）}．
S（-1，x₂，x₃，…，x_n）≥min{S（-1，1，x₃，…，x_n），S（-1，-1，x₃，…，x_n）}．
以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可以被某一组取值±1的x₁，x₂，…，x_n所达到，
于是S≥min{S（x₁，x₂，x₃，…，x_n）}．
当x_k=±1（k=1，2，…，n）时，
=．
当n为奇数时，因为|x₁+x₂+…+x_n|≥1，
所以，另一方面，若取，，
那么，
因此．…（13分）
点评：本题主要考查函数与方程的综合运用、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑推理能力．属于难题．