Question

（2011•海淀区二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)两个焦点之间的距离为2，且其离心率为

2

2

．
（Ⅰ） 求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ） 若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满
足

BA

•

BF

=2，求△ABF外接圆的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得：c=1，a=

2

，∴b=

a2-c2

=1，进而求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F（1，0），设A（x₀，y₀），则根据题意可得：x₀-（y₀-1）=2，即x₀=1+y₀，再联立椭圆的方程可得：A（0，-1）或A(

4

3

，

1

3

)，进而根据圆的有关性质求出元得方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：2c=2，e=

c

a

=

2

2

，…（1分）
∴c=1，a=

2

，
∴b=

a2-c2

=1，…（4分）
所以椭圆C的标准方程是 

x2

2

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F（1，0），…（6分）
设A（x₀，y₀），则

BA

=(x0，y0-1)，

BF

=(1，-1)，
∵

BA

•

BF

=2，
∴x₀-（y₀-1）=2，即x₀=1+y₀，…（8分）
代入

x02

2

+y02=1，
得：

x0=0 y0=-1

或

x0= 4 3 y0= 1 3

，
即A（0，-1）或A(

4

3

，

1

3

)．…（10分）
当A为（0，-1）时，|OA|=|OB|=|OF|=1，
△ABF的外接圆是以O为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为x²+y²=1；                 …（12分）
当A为(

4

3

，

1

3

)时，k_BF=-1，k_AF=1，
所以△ABF是直角三角形，其外接圆是以线段BA为直径的圆．
由线段BA的中点(

2

3

，

2

3

)以及|BA|=

2 5

3

可得△ABF的外接圆的方程为(x-

2

3

)2+(y-

2

3

)2=

5

9

．…（14分）
综上所述，△ABF的外接圆的方程为x²+y²=1或(x-

2

3

)2+(y-

2

3

)2=

5

9

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的方程中a，b，c之间的关系，以及圆的有关性质与向量的数量积表示．