Question

（1）已知双曲线与椭圆

x2

25

+

y2

9

=1共焦点，它们的离心率之和为

14

5

，求双曲线方程．
（2）P为椭圆

x2

100

+

y2

64

=1上的一点，F₁和F₂是其焦点，若∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析：（1）由题意可知双曲线的焦点在x轴，并求得焦点为F（±4，0），离心率为2，从而求出c，a，b得到双曲线方程；
（2）根据椭圆的定义，得PF₁+PF₂=2a…①，再在△F₁PF₂中用余弦定理，得PF₁²+PF₂²-PF₁•PF₂…②．由①②联解，得PF₁•PF₂，最后用根据正弦定理关于面积的公式，可得△PF₁F₂的面积．

解答：解：（1）∵椭圆焦点为F（±4，0），离心率为e=

4

5

，而双曲线与椭圆共焦点，
∴双曲线的焦点为F（±4，0），又它们的离心率之和为

14

5

，
设该双曲线的离心率为e，则e+

4

5

=

14

5

，
∴e=2，即

c

a

=2，而c=4，
∴a=2，b=2

3

．
∴双曲线方程为：

x2

4

-

y2

12

=1；
（2）∵椭圆方程是

x2

100

+

y2

64

=1，
∴a²=100，b²=64．可得a=10，c²=100-64=36，即c=6．
∵P是椭圆

x2

100

+

y2

64

=1上的一点，F₁、F₂是焦点，
∴根据椭圆的定义，得PF₁+PF₂=2a=20…①
又∵△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°且F₁F₂=2c=12
∴根据余弦定理，得F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos60°=144，
即PF₁²+PF₂²-PF₁•PF₂=144…②
∴①②联解，得PF₁•PF₂=

256

3

∴△PF₁F₂的面积为：S=

1

2

PF₁•PF₂sin60°=

64

3

3

．

点评：本题考查椭圆、双曲线的标准方程与双曲线的简单性质，掌握椭圆、双曲线的方程与性质是解决问题的基础，也是关键，属于基础题．