Question

已知函数f(x)=sinx-2cos2

x

2

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求函数f（x）值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据就x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域即可确定出f（x）的值域．

解答：解：（I）f（x）=sinx-2×

1+cosx

2

=sinx-cosx-1=

2

sin（x-

π

4

）-1，
∵ω=1，∴函数f（x）的最小正周期为2π；
（II）由x∈[0，π]，得x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴sin（x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，即

2

sin（x-

π

4

）-1∈[-2，

2

-1]，
则y=f（x）值域为[-2，

2

-1]．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．