Question

已知函数f（x）=|x-1|+|x|+|x+1|，若f（a²-2）=f（a），则实数a=________．

Answer 1

1，-1，2，-2
分析：先根据函数f（x）=|x-1|+|x|+|x+1|，得出f（-x）=|-x-1|+|-x|+|-x+1|=|x+1|+|x|+|x-1|=f（x），从而得出f（x）是偶函数，再将f（a²-2）=f（a），等价转化为a²-2=a，①或a²-2=-a，②．解①②得实数a即可．
解答：由于函数f（x）=|x-1|+|x|+|x+1|，
∴f（-x）=|-x-1|+|-x|+|-x+1|=|x+1|+|x|+|x-1|=f（x），
∴f（x）是偶函数，
∴对于函数f（x）而言，若两个函数值相等，则它们对应的自变量的值相等或互为相反数，
从而f（a²-2）=f（a）?a²-2=a，①或a²-2=-a，②．
解①得a=-1或2；解②得a=1或-2．
则实数a=1，-1，2，-2．
故答案为：1，-1，2，-2．
点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用、带绝对值的函数、方程式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．