题目内容

若函数f_A（x）的定义域为 $数学公式$ ，其中a、b为任意正实数，且a＜b．
（1）当A=[4，7）时，研究f_A（x）的单调性（不必证明）；
（2）写出f_A（x）的单调区间（不必证明），并求函数f_A（x）的最小值、最大值；
（3）若x₁∈I_k=[k²，（k+1）²），x₂∈I_k+1=[（k+1）²，（k+2）²），其中k是正整数，对一切正整数k不等式 $数学公式$ 都有解，求m的取值范围．

解：（1）当 $\text{[math]}$ …
∵ $\text{[math]}$ ，∴当x∈[1，2]时f_A（x）是减函数，当x∈[2，4）时f_A（x）是增函数 …
（2） $\text{[math]}$ 是减函数；在 $\text{[math]}$ 上f_A是增函数．
∴当 $\text{[math]}$ 有最小值为 $\text{[math]}$ …
当x=a时f_A（x）有最大值为 $\text{[math]}$ …
（3）当A=I_k时 $\text{[math]}$ 最小值为 $\text{[math]}$
当A=I_k+1时 $\text{[math]}$ 最小值为 $\text{[math]}$ …
∴ $\text{[math]}$ （k∈N*）…
设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ …
分析：（1）利用定义可得 $\text{[math]}$ ，判断出 $\text{[math]}$ ，从而可得f_A（x）的单调性；
（2）根据（1）的思路，结合函数 $\text{[math]}$ 的单调性可得f_A（x）的单调性，从而确定函数f_A（x）的最小值、最大值；
（3）分别求出 $\text{[math]}$ 最小值， $\text{[math]}$ 最小值，将问题转化为 $\text{[math]}$ （k∈N*），从而用最值法可解．
点评：本题是一道新定义题，关键是理解定义，合理使用定义进行转化，有一定的难度．