Question

【题目】设O为坐标原点，动点M在椭圆C 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足

（1） 求点P的轨迹方程；

(2)设点 在直线x=-3上，且.证明过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

Answer 1

【答案】（1）

（2） 由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则

，

.

由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故

3+3m-tn=0.

所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

【解析】

（1）设P（x，y），M（）,则N（），

由得.

因为M（）在C上，所以.

因此点P的轨迹为.

（2） 由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则

，

.

由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故

3+3m-tn=0.

所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.