Question

【题目】已知数列满足： ，且.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设是数列的前项和，若对任意都成立．试求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）．

【解析】

试题

(1)利用题中的递推关系计算可得后项与前项的比值为定值，计算首项为即可证得数列为等比数列；

(2)原问题转化为对任意的都成立，分类讨论可得：实数的取值范围是．

试题解析：

（Ⅰ）因为，，，

所以，

所以，

又，

所以数列是首项为，公比为的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，即，

则

．

又 ，

要使对任意的都成立，

即（*）对任意的都成立．　

①当为正奇数时，由（*）得，，

即，

因为，

所以对任意的正奇数都成立，

当且仅当时，有最小值1，

所以．

②当为正偶数时，由（*）得，

，

即，

因为，

所以对任意的正偶数都成立．

当且仅当时，有最小值，所以．

综上所述，存在实数，使得对任意的都成立，

故实数的取值范围是．