Question

（2011•洛阳二模）已知双曲线的中心在坐标原点，两个焦点为F₁（-

7

，0），F₂（

7

，0），点P是此双曲线上的一点，且

PF1

•

PF2

=0，|

PF1

|•|

PF2

|=4，该双曲线的标准方程是（　　）

• A．

  x2

  4

  -

  y2

  3

  =1
• B．

  x2

  3

  -

  y2

  4

  =1
• C．

  x2

  5

  -

  y2

  2

  =1
• D．

  x2

  2

  -

  y2

  5

  =1

Answer 1

分析：设双曲线的方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1，利用双曲线的定义结合题意可求得b²与a²，从而可得答案．

解答：解：设双曲线的方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∵两焦点F₁（-

7

，0），F₂（

7

，0），且

PF1

•

PF2

=0，
∴

PF1

⊥

PF2

，
∴△F₁PF₂为直角三角形，∠P为直角；
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2

7

)2=28；①
又点P是此双曲线上的一点，
∴||PF₁|-|PF₂||=2a，
∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF₁|•|PF₂|=4a²，由|

PF1

|•|

PF2

|=4得|PF₁|•|PF₂|=4，
∴|PF1|2+|PF2|2-8=4a²，②
由①②得：a²=5，又c²=(

7

)2=7，
∴b²=c²-a²=2．
∴双曲线的方程为：

x2

5

-

y2

2

=1，
故选C．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查向量的数量积在几何中的应用，考查待定系数法与方程思想，属于中档题．