Question

已知函数f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2-bx+a2-2(a，b∈R)，若f（x）在-1处有极值

5

3

，则a-b的值是（　　）

A．-4或3

B．3

C．-4

D．-1

Answer 1

分析：对函数f（x）求导，根据函数f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2-bx+a2-2(a，b∈R)在-1处有极值

5

3

，可知f′（-1）=0和f（-1）=

5

3

，得到

f′(-1)=0  f(-1)= 5 3

，解方程组得到a与b的值，注意验证，可求得答案．

解答：解：由函数f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2-bx+a2-2(a，b∈R)，
得f′（x）=x²+ax-b，
由于f（x）在-1处有极值

5

3

，
则f′（-1）=0和f（-1）=

5

3

，
 故

f′(-1)=0  f(-1)= 5 3

，即

1-a-b=0 - 1 3 + 1 2 a+b+a2-2= 5 3

，
解得 

a=2 b=-1

或

a=- 3 2 b= 5 2

，
当a=2，b=1时，f′（x）=x²+2x+1=（x+1）²≥0，
故f（x）在R上为增函数，不满足f（x）在-1处有极值

5

3

，
则a=-

3

2

，b=

5

2

，故a-b=-4．
故答案为：C

点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，注意f′（x₀）=0是x=x₀是极值点的必要不充分条件，因此对于解得的结果要检验，这是易错点，属于基础题．