Question

已知函数f(x)=2

3

sinxcosx-2cos2x+1
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，若f(

A

2

)=2，b=1，c=2，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，由正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由f（

A

2

）=2，得到sin（A-

π

6

）=1，确定出A的度数，求出cosA的值，再由b，c的值，利用余弦定理即可求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）

3

sin2x-cos2x=2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）=2sin（2x-

π

6

），
∵ω=2，∴最小正周期T=

2π

|ω|

=π；
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z得，kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵f（

A

2

）=2，∴2sin（A-

π

6

）=2，即sin（A-

π

6

）=1，
∴A-

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z，即A=

2π

3

+2kπ，k∈Z，
又0＜A＜π，∴A=

2π

3

，
由余弦定理及b=1，c=2，cosA=-

1

2

得：a²=b²+c²-2bccosA=7，即a²=1+4+2=7，
解得：a=

7

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，余弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．