Question

以曲线y=

1

4

x2的焦点为圆心，和直线y=x-1相切的圆的方程为（　　）

• A．x²+（y-1）²=2
• B．（x-1）²+y²=2
• C．(x-

  1

  16

  )2+y2=

  225

  128

• D．x2+(y-

  1

  16

  )2=

  225

  128

Answer 1

分析：将抛物线化成标准方程，得它的焦点为F（0，1），因此可设圆的方程为x²+（y-1）²=r²．根据直线y=x-1与圆相切，由点到直线的距离公式算出圆的半径r的值，从而得到所求圆的标准方程．

解答：解：抛物线y=

1

4

x2化成标准方程，得x²=4y
∴抛物线的焦点坐标为F（0，1）
设所求圆的方程为x²+（y-1）²=r²，
∵直线y=x-1与圆相切，
∴F到直线x-y-1=0的距离：d=

|0-1-1|

12+(-1)2

=r，得r=

2

因此，所求圆的方程为x²+（y-1）²=2
故选：A

点评：本题给出以已知抛物线的焦点为圆心，且与已知直线相切的圆，求圆的标准方程，着重考查了抛物线的标准方程、圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．