Question

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x都成立，则称该f（x）为β函数，现给出如下函数：（1）f（x）=2x-1；（2）f（x）=x²；（3）f（x）=sinx；（4）f(x)=

x

x2+x+1

；（5）f（x）=2^x-1；其中是β函数的序号是

（3）（4）

．

Answer 1

分析：本题考查阅读题意的能力，根据β函数的定义对各选项进行判定．比较各个选项，发现只有选项（3）（4），根据单调性可求出存在正常数M满足条件，而对于其它选项，不等式变形之后，发现都不存在正常数M使之满足条件，由此即可得到正确答案．

解答：解：据定义逐个加以判断：
对于（1），|f（x）|=|2x-1|≤M|x|，即|

2x-1

x

|=|2-

1

x

|≤M，不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是β函数；
对于（2），|f（x）|=|x²|≤M|x|，即|x|≤M，不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是β函数；
对于（3），|f（x）|=|sinx|≤M|x|，即|

sinx

x

|≤M，当M≥1时，对一切实数x均成立，f（x）=sinx是β函数．
对于（4），要使|f（x）|≤M|x|成立，即 |

x

x2+x+1

| ≤M|x|
当x=0时，M可取任意正数；当x≠0时，只须M≥|

1

x2+x+1

|的最大值；因为x²+x+1=(x+

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，所以M≥

4

3

，
因此，当M≥

4

3

时，f（x）=

x

x2+x+1

是β函数；
对于（5），|f（x）|=|2^x-1|≤M|x|，即|

2 x-1

x

|≤M，不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是β函数；
 故答案为（3）（4）．

点评：本题考查了函数恒成立的知识点，属于中档题．深刻理解题中β函数的定义，用不等式的性质加以处理，找出不等式恒成立的条件再进行判断，是解决本题的关键所在．