Question

一般地，给定平面上有n个点，每两点之间有一个距离，最大距离与最小距离的比记为λ_n，已知λ₄的最小值是

2

，λ₅的最小值是2sin

3

10

π，λ₆的最小值是

3

．试猜想λ_n（n≥4）的最小值是

2sin

n-2

2n

π

．（这就是著名的Heilbron猜想，已经被我国的数学家攻克）

Answer 1

分析：观察、分析λ₄、λ₅、λ₆的规律，即可猜想出λ_n的表达式．

解答：解：∵λ4=

2

=2sin

π

4

，
λ5=2sin

3

10

π，
λ6=

3

=2sin

π

3

，
…
设数列{a_n}（n≥4），a4=

1

4

=

1

2

-

1

4

，a5=

3

10

=

1

2

-

1

5

，a6=

1

2

-

1

6

，…
于是可得an=

1

2

-

1

n

．
∴猜想λ_n（n≥4）的最小值是2sin(

1

2

-

1

n

)π=2sin

n-2

2n

π．
故答案为2sin

n-2

2n

π．

点评：由已知的几个结论分析归纳猜想出其规律是解题的关键．此题要证明并不简单．