Question

已知等差数列{a_n}中，a₁+a₅=14，a₂•a₄=45，且数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的公差为正数，数列{b_n}满足b_n=

1

Sn

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由于a₁+a₅=14，a₂•a₄=45，利用等差数列的性质可得a₂+a₄=a₁+a₅=14，联立

a2+a4=14 a2•a4=45

，解得a₂，a₄，再利用通项公式即可得出公差d和通项公式．
（2）由于数列{a_n}的公差为正数，因此取d=2，可得a_n=2n+1．利用等差数列的前n项和公式可得S_n=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2）．可得b_n=

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．再利用“裂项求和”即可得出T_n．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁+a₅=14，a₂•a₄=45，
∴a₂+a₄=a₁+a₅=14，联立

a2+a4=14 a2•a4=45

，解得

a2=5 a4=9

或

a2=9 a4=5

．
①由

a2=5 a4=9

可得9=a₄=a₂+2d=5+2d，解得d=2，∴a_n=a₂+（n-2）d=5+（n-2）×2=2n+1．
②由

a2=9 a4=5

可得5=a₄=a₂+2d=9+2d，解得d=-2．∴a_n=a₂+（n-2）d=9+（n-2）×（-2）=-2n+13．
（2）∵数列{a_n}的公差为正数，∴取d=2，a_n=2n+1．
∴S_n=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2）．
∴b_n=

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
∴T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)．

点评：本题考查了等差数列的性质及通项公式和前n项和公式、“裂项求和”等基础知识与基本方法，属于中档题．