Question

节假日自驾游成为时尚，为了确保交通安全，在一个交通拥挤及事故易发生路段，交通部门规定，在此路段内的车速v（单位：km/h）的平方和车身长l（单位：m）的乘积与车距d成正比，且最小车距不得少于半个车身长．假定车身长均为l（单位：m）且当车速为50（km/h）时，车距恰为车身长，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使在此路段的车流量Q最大？（车流量=

车速

车距+车身长

）

Answer 1

分析：根据车距d是车速v（千米/小时）的平方与车身长l（米）之积的正比例函数，可假设函数解析式．利用车速为50千米/小时，车距恰为车身长．可求d关于v的解析式，从而可得车流量关于v的函数，利用基本不等式可求最值．

解答：解：∵车距d是车速V（公里/小时）的平方与车身长S（米）积的正比例函数，设d=Kv²l，
∵V=50时，d=l，得s=K×50²×l，∴K=

1

2500

∴d=

1

2500

v2l，
又d=

1

2

l时，v=25

2

∴当0＜v≤25

2

时，车距d等于车身长的一半，∴d=

1

2

l，
当v＞25

2

时，车距d=

1

2500

v2，
则有

d= 1 2500 v2l(v＞25 2 ) 1 2 l，(0＜v≤25 2 )

，
则Q=

1000v

d+l

=

1000v l(1+ v2 2500 ) (v＞25 2 ) 1000v 3l 2 (v≤25 2 )

显然当v≤25

2

时，Q是关于v的增函数，
∴当v=25

2

时，Q=

2000v

3l

，∴Qmax=

50000 2

3l

当v＞25

2

时，Q=

1000v

d+l

=

1000v

l(1+ v2 2500 )

=

1000

l( 1 v + v 2500 )

≤

1000

l•2 1 v • v 2500

=

25000

l

当且仅当v=50时，上式等号成立．
综上所述，当且仅当v=50（km/h）时，车流量Q取得最大值．

点评：本题的考点是根据实际问题选择函数类型．主要考查利用待定系数法求函数解析式，同时考查利用基本不等式求函数的最值，关键是将实际问题转化为数学问题．属于中档题．