Question

4．已知一个等边三角形的三边长为6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，求某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率．

Answer 1

分析 根据题意，记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过2”为事件A，则其对立事件为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过2”，先求得边长为6的等边三角形的面积，由几何概型可得P（$\overline{A}$），进而由对立事件的概率性质，可得答案．

解答 解：记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过2”为事件A，则其对立事件$\overline{A}$为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过2”，
边长为6的等边三角形的面积为S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×6²=9$\sqrt{3}$，
则事件$\overline{A}$构成的区域面积为S（$\overline{A}$）=$\frac{1}{2}$×π×2²=2π，
由几何概型的概率公式得P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-$\frac{2π}{9\sqrt{3}}$=1-$\frac{2\sqrt{3}π}{27}$．

点评 本题考查几何概型，涉及对立事件的概率性质；解题时如需要计算不规则图形的面积，可用间接法．