Question

【题目】已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[﹣ ， ]上的最小值和最大值．

Answer 1

【答案】解：（ I）函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1= sin（2x+ ）+1，∴函数f（x）的最小正周期为：T= =π；

（Ⅱ） 由 ，解得 ，∴函数f（x）的单调递增区间为 （k∈Z）；

（ III）由 ，得 ，令2x+ =﹣ ，解得x=﹣ ，∴f（x）min= = ×（﹣ ）+1=0，

令2x+ = ，解得x= ，∴f（x）max= = ×1+1= +1．

【解析】（ I）根据正弦函数和余弦函数的二倍角化简成正弦型函数可得周期。（Ⅱ）把看成一个整体代入正弦函数的单调区间整理即得。（Ⅲ）由整体思想可得 ≤ 2 x + ≤ 根据正弦函数的单调性可得 ，最小值当整体取-时得到，最大值 当整体取时得到。
【考点精析】本题主要考查了三角函数的最值的相关知识点，需要掌握函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，才能正确解答此题．