Question

下列四个命题中，真命题的个数为（　　）
①若函数f（x）=sinx-cosx+1，则y=|f（x）|的周期为2π；
②若函数f（x）=cos⁴x-sin⁴，则f′(

π

12

)=-1；
③若角α的终边上一点P的坐标为（sin

5π

6

，cos

5π

6

），则角α的最小正值为

5π

3

；
④函数y=2cos2x的图象可由函数y=cos2x+

3

sin2x的图象向左平移m=-1个单位得到．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由函数f（x）=sinx-cosx+1=

2

sin(x-

π

4

)+1，知y=|f（x）|的周期为π；
②由函数f（x）=cos⁴x-sin⁴=cos2x，知f′(

π

12

)=

6 - 2

2

；
③由角α的终边上一点P的坐标为（sin

5π

6

，cos

5π

6

）=（

1

2

，-

3

2

），知角α的最小正值为

5π

3

；
④y=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）向左平移

π

6

得到y=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x．

解答：解：①∵函数f（x）=sinx-cosx+1=

2

sin(x-

π

4

)+1，
∴y=|f（x）|的周期为π，故①不正确；
②∵函数f（x）=cos⁴x-sin⁴=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）=cos2x，
∴f′ (x)=-2sinx，∴f′(

π

12

)=-2sin

π

12

=

6 - 2

2

．故②不正确；
③∵角α的终边上一点P的坐标为（sin

5π

6

，cos

5π

6

）=（

1

2

，-

3

2

），
∴角α的最小正值为

5π

3

，故③正确；
④∵y=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），
∴y=cos2x+

3

sin2x的图象向左平移

π

6

得到y=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x，故④不正确．
故选A．

点评：本题考查命题真假的判断，解题时要认真审题，注意三角函数的图象和性质的合理运用．