Question

【题目】已知函数 的定义域为 ，若对于任意的 ， ，都有 ，且当 时，有 ．

（1）证明： 为奇函数；

（2）判断 在 上的单调性，并证明；

（3）设 ，若 （ 且 ）对 恒成立，求实数 的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2） 在 上为单调递增函数；（3）

【解析】试题分析：（1）令x=y=0可得f（0）=0，令y=-x及奇函数的定义即得证；
（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）在[-2，2]上的单调性，并证明；
（3）结合函数单调性和奇偶性的性质以及对数函数的性质将不等式恒成立进行转化即可得到结论．

试题解析：

（1） 令 ，

所以 ，

令 ，

所以 ，

所以 ，故 为奇函数

（2） 在 上为单调递增函数．

任取 ，

所以 ，

所以 ，

因为 是定义在 上的奇函数，

所以 ，

所以 ，

所以 在 上为单调递增函数

（3） 因为 在 上为单调递增函数，

所以 ，

因为 对 恒成立，

所以 ，

当 时，

所以 ；

当 时，

所以 ．