Question

已知函数f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（

π

6

，

1

2

）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[0，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）由已知中函数f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（

π

6

，

1

2

）．我们将（

π

6

，

1

2

）代入函数的解析式，结合φ的取值范围，我们易示出φ的值．
（II）由（1）的结论，我们可以求出y=f（x），结合函数图象的伸缩变换，我们可以得到函数y=g（x）的解析式，进而根据正弦型函数最值的求法，不难求出函数的最大值与最小值．

解答：解：（I）∵函数f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ）（0＜φ＜π），
又因为其图象过点（

π

6

，

1

2

）．
∴

1

2

=

1

2

sin(2×

π

6

)sin?+cos2

π

6

cosφ-

1

2

sin(

π

2

+φ)(0＜φ＜π)
解得：φ=

π

3

（II）由（1）得φ=

π

3

，
∴f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ）
=

1

2

sin(2x+

π

6

)
∴g(x)=

1

2

sin(4x+

π

6

)
∵x∈[0，

π

4

]
∴4x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴当4x+

π

6

=

π

2

时，g（x）取最大值

1

2

；
当4x+

π

6

=

7π

6

时，g（x）取最小值-

1

4

．

点评：本题考查三角函数的诱导公式即二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换及三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力．已知函数图象求函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图象求得的y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．