Question

【题目】已知右焦点为的椭圆关于直线对称的图形过坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为.证明：直线与轴的交点为.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 详见解析.

【解析】试题分析：（1）由题意可得：a=2c，又a2=3+c2，解得a2即可得出椭圆M的方程；（2）设直线PQ的方程为：y=k（x-4）（k≠0），代入椭圆方程可得：（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），E（x2，-y2），直线PE的方程为： ，令y=0，可得 ，把根与系数的关系代入即可证明．

试题解析：

（1）由题意得椭圆的焦点在轴上，∵椭圆关于直线对称的图形过坐标原点，∴，∵，∴，解得.∴椭圆的方程为.

（2）证明：易知直线的斜率必存在，设直线的方程为，代入得，由得， .设， ， ，则， ，则直线的方程为.令得 ，∴直线过定点，又的右焦点为，∴直线与轴的交点为.