题目内容
已知f（x）=ax2-bx+2（a≠0）是偶函数，且f（1）=0．
（1）求a，b的值并作出y=f（x）图象；
（2）求函数y=f（x-1）在[0，3]上的值域．
（1）求a，b的值并作出y=f（x）图象；
（2）求函数y=f（x-1）在[0，3]上的值域．
分析：（1）由偶函数定义知f（-x）=f（x）恒成立，由此可求b，由f（1）=0可求a，易化图象；
（2）根据图象平移可得f（x-1）的解析式，根据二次函数的性质可求值域；
（2）根据图象平移可得f（x-1）的解析式，根据二次函数的性质可求值域；
解答：
解：（1）依题意得：对于任意x∈R，均有f（x）=f（-x），
∴ax2-bx+2=ax2+bx+2，∴2bx=0恒成立，∴b=0，
由f（1）=0得a-b+2=0，∴a=-2，
∴a=-2，b=0．
则f（x）=-2x2+2，
作出函数图象，如图所示：
（2）由（1）得y=f（x-1）=-2（x-1）2+2，抛物线开口向下，对称轴x=1，
则函数y=f（x-1）在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，
∵f（0）=0，f（1）=2，f（3）=-6，
∴函数y=f（x-1）在[0，3]上的值域为[-6，2]．
解：（1）依题意得：对于任意x∈R，均有f（x）=f（-x），∴ax2-bx+2=ax2+bx+2，∴2bx=0恒成立，∴b=0，
由f（1）=0得a-b+2=0，∴a=-2，
∴a=-2，b=0．
则f（x）=-2x2+2，
作出函数图象，如图所示：
（2）由（1）得y=f（x-1）=-2（x-1）2+2，抛物线开口向下，对称轴x=1，
则函数y=f（x-1）在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，
∵f（0）=0，f（1）=2，f（3）=-6，
∴函数y=f（x-1）在[0，3]上的值域为[-6，2]．
点评：本题考查二次函数解析式的求解、图象及值域，属基础题．
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