Question

已知函数f（x）=2cos²x-1，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）=2cos²x-1
=（sin2x+cos2x）+（sin2x-cos2x）+cos2x
=sin2x+cos2x=sin（2x+）…（3分）
由于x∈R，得2x+∈R，故sin（2x+）∈[-1，1]，
∴函数的值域为y∈[-，]…（6分）
（Ⅱ）令-+2kπ＜2x+＜+2kπ，k∈Z，…（8分）
解得-+kπ＜x＜+kπ，k∈Z，…（10分）
∴f（x）的递增区间为（-+kπ，+kπ），k∈Z，…（12分）
注意：写成[-+kπ，+kπ]，k∈Z，也是正确答案．
分析：（I）利用两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式进行展开，合并同类项，再用辅助角公式化简得f（x）=sin（2x+），再用三角函数的图象与性质，可求函数f（x）的值域．
（II）由正弦函数的单调区间的公式，建立关于x的不等式并解之，得-+kπ＜x＜+kπ，k∈Z，再将其变成区间就是要求的函数单调增区间．
点评：本题给出三角函数式，要我们通过化简求其单调区间与值域，着重考查了三角恒等变形和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．