Question

如图是多面体和它的三视图．

(1)若点是线段上的一点，且,求证：;
(2)求二面角的余弦值．

Answer 1

(1)证明见解析；
(2)

解析试题分析：(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明线面垂直，需证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.
试题解析：解：(1)由题意知AA₁，AB，AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A₁(0，0，2)，B(－2，0，0)，C(0，－2，0)，C₁(－1，－1，2)，则＝(－1，1，2)，＝(－1，－1，0)，＝(0，－2，－2)．(1分)

设E(x，y，z)，则＝(x，y＋2，z)，
＝(－1－x，－1－y，2－z)．(3分)
＝2，得E(
=
设平面C₁A₁C的法向量为m＝(x，y，z)，则由，
得，取x＝1，则y＝－1，z＝1.故m＝(1，－1，1)，
=，BE⊥平面A₁CC₁.(6分)
(2)由（1）知，平面C₁A₁C的法向量为m＝(1，－1，1)
而平面A₁CA的一个法向量为n＝(1，0，0)，则cos〈m，n〉＝＝＝，故二面角的余弦值.(12分)
考点：利用空间向量证明垂直和夹角问题.