Question

【题目】已知函数f(x)＝(2－a)lnx＋＋2ax.

(1)当a<0时，讨论f(x)的单调性；

(2)若对任意的a∈(－3，－2)，x1，x2∈[1,3]，恒有(m＋ln 3)a－2ln 3>|f(x1)－f(x2)|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) (－∞，－ ]．

【解析】试题分析：（1）对原函数求导，f′(x)＝，分a＝－2，－2<a<0，a<－2，三种情况讨论导函数的正负，得原函数的单调性；（2）根据第一问知道当a∈(－3，－2)时，函数f(x)在区间[1,3]上单调递减，故得到f(x)max＝f(1)＝1＋2a，f(x)min＝f(3)＝(2－a)ln 3＋＋6a，问题等价于am>－4a，m<－4，m≤(－4)min。

解析：

(1)求导可得f′(x)＝－＋2a＝，

令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－，

当a＝－2时，f′(x)≤0，函数f(x)在定义域(0，＋∞)内单调递减；

当－2<a<0时，在区间(0， )，(－，＋∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(，－ )上f′(x)>0，f(x)单调递增；

当a<－2时，在区间(0，－ )，(，＋∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(－， )上f′(x)>0，f(x)单调递增．

(2)由(1)知当a∈(－3，－2)时，函数f(x)在区间[1,3]上单调递减，

所以当x∈[1,3]时，f(x)max＝f(1)＝1＋2a，f(x)min＝f(3)＝(2－a)ln 3＋＋6a.

问题等价于：对任意的a∈(－3，－2)，恒有(m＋ln 3)a－2ln 3>1＋2a－(2－a)ln 3－－6a成立，即am>－4a，

因为a<0，所以m<－4，

因为a∈(－3，－2)，

所以只需m≤(－4)min，

所以实数m的取值范围为(－∞，－ ]．