Question

给出定义：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m，在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①y=f（x）的定义域是R，值域是（-

1

2

，

1

2

]；
②点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；
③函数y=f（x）的最小正周期为1；
④函数y=f（x）在（-

1

2

，

3

2

]上是增函数；
则其中真命题的个数为（　　）

Answer 1

分析：依题意，f（x）=x-{x}，对四个命题逐一判断即可．

解答：解：∵m-

1

2

＜x≤m+

1

2

，m为整数，{x}=m，
∴-

1

2

＜x-m≤

1

2

，又{x}=m，
∴-

1

2

＜x-{m}≤

1

2

，
即-

1

2

＜f（x）≤

1

2

，
∴①y=f（x）的定义域是R，值域是（-

1

2

，

1

2

]正确；
对于③，f（x+1）=（x+1）-{x+1}=x-{m}=f（x），
∴函数y=f（x）的最小正周期为1，即③正确；
∴f（x）=x-{x}的图象如图：
由图可排除（2），（4）．
故关于函数f（x）=x-{x}的四个命题中（1）（3）正确．
故选C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查分析与理解能力，作出f（x）=x-{x}的图象是关键，属于难题．