Question

已知直线L：y=

1

2

x+m与曲线C：y=

1

2

|4-x2|

仅有三个交点，则实数m的取值范围是（　　）

• A、(-2，

  2

  )
• B、(-

  2

  ，

  2

  )
• C、(1，

  2

  )
• D、(1，

  3

  )

Answer 1

分析：分析曲线C的方程y=

1

2

|4-x2|

可得是椭圆的上半部分与双曲线的上半部分，由图形可得找出两个临界值即直线平移到（0，1）与直线和椭圆相切（△=16m²-8（4m²-4）=0）的时候，得到答案．

解答：解：由题意得曲线C：y=

1

2

|4-x2|

∴2y=

|4-x2|

即4y²=|4-x²|（y≥0）
当4-x²≥0时得到4y²=4-x²即

x2

4

+y2=1(y≥0)
当4-x²＜0时得到

x2

4

-y2=1(y≥0)
由以上可得曲线C的图形为

∵直线L：y=

1

2

x+m与双曲线

x2

4

-y2=1的渐近线平行
∴把直线y=

1

2

x向上平移平移到（0，1）点时有两个交点，此时m=1．继续向上平移则有3个交点．
当直线与椭圆的上半部分相切时此时有两个交点．
联立直线与椭圆的方程

y= 1 2 x+m x2 4 +y2=1

代入整理得2x²+4mx+4m²-4=0
△=16m²-8（4m²-4）=0即m=

2

或-

2

（舍去）
由图示可得m=

2

由以上可得1＜m＜

2

故答案为C．

点评：解决此类问题的根据是灵活运用平面几何的相关知识与结论，结合图形解决问题，即数形结合的是想是高中数学的一个重点也是高考必考的知识点．