Question

设函数f(x)是定义在［-1,0］∪(0,1)上的偶函数,当x∈［-1,0］时,f(x)=x³-ax(a∈R).

(1)当x∈(0,1］时,求f(x)的解析式；

(2)若a＞3,试判断f(x)在(0,1］上的单调性,并证明你的结论；

(3)是否存在a,使得当x∈(0,1］时,f(x)有最大值1.

Answer 1

思路分析：（1）利用偶函数的定义f(-x)=f(x).

（2）利用求函数单调性的步骤判断函数在(0,1］上的单调性即可.

（3）求出函数的f(x)的最大值，让其等于1，看a是否有解即可.

解：(1)∵x∈(0,1］时,-x∈［-1,0),

∴f(-x)=(-x)³-a(-x)=ax-x³.

又f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即f(x)=ax-x³.

(2)f′(x)=-3x²+a,∵x∈(0,1］,∴x²∈(0,1］.

∴-3x²≥-3.

∵a＞3,∴-3x²+a＞0,故f(x)在(0,1］上为增函数.

(3)假设存在a,使得当x∈(0,1］时,f(x)有最大值1.∴f′(x)=a-3x².

令f′(x)=0,∴-3x²+a=0,即a＞0时,x=.

又∵x∈(0,1),∴x=且＜1.

∴f′(x)在(0,)上大于0,在(,1]上小于0.

∴f(x)_max=f()==

=1.

∴a=时,f(x)有最大值1.

    方法归纳 关于存在性问题,处理的方法可以先假设存在,再寻找所得的结论.