Question

已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程；

(Ⅲ)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？

若存在，请找出；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）不存在满足题设条件的点B和C.

【解析】有关解析几何的问题，常常涉及曲线的方程，此时往往要注意利用有关曲线的定义来解决，同时还会涉及直线与有关曲线的交点问题，在处理过程中往往需要结合二次方程的根与系数的关系解决

（I）设椭圆E的方程为，

将A（2，3）代入上式，得

∴椭圆E的方程为

（II）解法1：由（I）知，所以直线AF1的方程为：直线AF2的方程为：由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数.设上任一点，则

若（因其斜率为负，舍去）.

所以直线l的方程为：

解法2：

（III）解法1：

假设存在这样的两个不同的点

由于M在l上，故        ①

又B，C在椭圆上，所以有两式相减，得

即将该式写为，并将直线BC的斜率和线段BC的中点，表示代入该表达式中，得     ②

①×2—②得，即BC的中点为点A，而这是不可能的.

∴不存在满足题设条件的点B和C.

解法2：假设存在，则

得一元二次方程则是该方程的两个根，由韦达定理得于是∴B，C的中点坐标为又线段BC的中点在直线

即B，C的中点坐标为（2，3），与点A重合，矛盾.∴不存在满足题设条件的相异两点.