Question

6．求下列函数的值域：
（1）y=2x+1，x∈{1，2，3，4，5}；
（2）y=-x²-2x+3（-5≤x≤-2）；
（3）y=$\sqrt{x}$+x+1，x∈[1，4]；
（4）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）求x分别取1，2，3，4，5时对应的y值，然后用列举法表示即为原函数的值域；
（2）配方，判断该二次函数在[-5，-2]上的单调性，根据单调性求该函数的值域；
（3）根据x的范围，求出$\sqrt{x}$的范围，从而得出$\sqrt{x}+x+1$的范围，即得出原函数的值域；
（4）可将原函数变成$y=-1+\frac{2}{1+{x}^{2}}$，然后根据1+x²≥1即可得出$\frac{1}{1{+x}^{2}}$的范围，从而得出y的范围，即求出原函数的值域．

解答 解：（1）x分别取1，2，3，4，5时，对应的y值为：3，5，7，9，11；
∴该函数的值域为{3，5，7，9，11}；
（2）y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4；
∴该函数在[-5，-2]上单调递增，设y=f（x），则：
f（-5）≤f（x）≤f（-2）；
∴-12≤f（x）≤3；
∴原函数的值域为[-12，3]；
（3）1≤x≤4；
∴$1≤\sqrt{x}≤2$；
∴$3≤\sqrt{x}+x+1≤7$；
∴该函数的值域为[3，7]；
（4）$y=\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}=\frac{-（1+{x}^{2}）+2}{1+{x}^{2}}$=$-1+\frac{2}{1+{x}^{2}}$；
1+x²≥1；
∴$0＜\frac{1}{1+{x}^{2}}≤1$；
∴-1＜y≤1；
∴原函数的值域为（-1，1]．

点评 考查函数值域的概念及求法，定义域为孤立点时函数值域的求法，根据二次函数的单调性求其值域，分离常数法的运用，以及根据不等式的性质求函数值域的方法．