Question

　　已知函数满足：①；②.

　（1）求的值；

　（2）设，是否存在实数使为偶函数；若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（平行班做）(3)设，若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（特保班做）（3）设函数，讨论此函数在定义域范围内的零点个数．

Answer 1

解：（1），  ①

          又，即，②

          将①式代入②式，得，又∵，

          ∴，．     ……………………………………………4分              

　          （2）由（1）得，

                ，

                 假设存在实数使为偶函数，则有

                ，即，可得．

　　　　　   故存在实数使为偶函数．……………………………………8分 

    平行班（3）依题意有，

            在区间上单调递增，

           若函数在区间上单调递增，则

          且在区间上恒成立，

        ，即  解得；

　　　    故实数的取值范围是．……………………………………12分 

          

   特保班（3）方法1 ∵ 函数，

      　　　 有解，即

　　　　　 　又∵ ，

　　　　　　　∴ 的最小值为，

　　　　　　　∴ ；

　　　　      又，

              即，      （*）

            

　　　　　　 ∴当时，方程（*）有2个不同的实数根；

               当时，方程（*）有1个实数根；

               当时，方程（*）没有实数根．

               综上，当时，函数在定义域范围内有2个零点；

                     当时，函数在定义域范围内有1个零点；

                     当时，函数在定义域范围内没有零点．…………12分                                   

         方法2∵ 函数，

      　　　  有解，

　　　　　　  又∵ ，

　　　　　　　∴ 的最小值为，

　　　　　　　∴ ；

　　　　       又，

              即  

             ∴当时，直线与抛物线有2个不同的交点；

               当时，直线与抛物线有1个交点；

               当时，直线与抛物线没有交点．

           综上，当时，函数在定义域范围内有2个零点；

                 当时，函数在定义域范围内有1个零点；

                 当时，函数在定义域范围内没有零点．…