题目内容
已知函数f(x)在(-1，1)上有意义，f(
)=-1，且对任意的x、y∈(-1，1)都有f(x)+f(y)=(
)(Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性；
(Ⅱ)若数列{xn}满足x1=
，xn+1=
(n∈N*)，求f(xn)；
(Ⅲ)求证：
(n∈N*)．
答案：解：(Ⅰ)令x=y=0，则2f(0)=f(0)，即f(0)=0
又令y=-x，x∈(-1，1)，
则f(x)+f(-x)=f(0)=0
即f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数．
(Ⅱ)1+≥2|xn| ∴||≤1
又x1=，∴||＜1
f(x1)=f()=-1
而f(xn+1)=f(
)=f(
)
=f(xn)+f(xn)=2f(xn)．
∴
=2
∴{f(xn)}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，故f(xn)=-2n-1
(Ⅲ)
=
∵
=-2+
＞-2(n∈N*),
又
=-2
＜-2(n∈N*),
故
(n∈N*).
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